Resolução de cálculos matemáticos

Vamos falar de jogos?
Antes de começarmos o assunto, assista o vídeo abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=Tz_IOs1XgP0

Pronto? Legal né?

Acredito que a primeira coisa que pensamos quando estudamos uma matéria é: Como irei utilizar isso ou porque essa disciplina é aprendida na faculdade?

O vídeo acima mostra uma das milhares aplicações do cálculo dentro da engenharia de software. Vamos relembrar um velhinho? Já ouviu falar em Pac Man? Pac-Man é um dos videogames mais clássicos de todos os tempos e a maioria das pessoas ou jogadores tem pelo menos uma familiaridade passageira com ele. O objetivo do jogo é simples, pois o jogador é colocado em um labirinto cheio de comida, representada como bolinhas ou pontos, e precisa comer tudo para avançar para o próximo nível.


Essa tarefa é dificultada por quatro fantasmas que perseguem Pac-Man pelo labirinto. Caso o Pac-Man entrar em contato com qualquer um dos fantasmas o jogador perde uma vida e as posições do Pac-Man e dos fantasmas são restauradas aos seus locais iniciais, embora quaisquer pontos que tenham sido comidos permaneçam no mesmo estado. Além de simplesmente evitá-los, a única defesa do Pac-Man contra os fantasmas são as quatro pelotas maiores "energizantes" localizadas nos cantos do labirinto.


Comer um faz com que os fantasmas fiquem com medo e recuem por um curto período de tempo e nos primeiros níveis do jogo o Pac-Man pode até comer os fantasmas para ganhar pontos extras durante este período. Um fantasma comido não é completamente eliminado, mas retorna à sua posição inicial antes de retomar sua perseguição. Além de comer pontos e fantasmas a única outra fonte de pontos são os dois pedaços de frutas que aparecem durante cada nível perto do meio do labirinto.
A primeira fruta aparece quando Pac-Man come 70 pontos do labirinto e a segunda quando 170 já foram comidos.

imagem - anexo 1
fonte. Site gameinternals.com
Disponível em: <https://gameinternals.com/understanding-pac-man-ghost-behavior>
Acessado em 17 de Agosto de 2020.


Fonte.
Site techtudo.com.br.
Disponível em: <https://www.techtudo.com.br/noticias/noticia/2013/05/pac-man-completa-33-anos-com-direito-a-novo-game-relembre-o-classico.html>
Acessado em 17 de Agosto de 2020.

Vamos calcular então:
Supondo que o nosso Pac-Man, tenha a seguinte característica:

imagem - anexo 2
fonte. A autora.


​Nesse caso está delimitado pelo circulo e duas retas. Como a área de um círculo envolve integrais e substituições avançadas vamos supor que o nosso Pac-Man tenha área aproximada definida pelo desenho abaixo:

imagem - anexo 3
fonte. A autora.



​Observe que é muito próximo a área do Pac-Man original, porém estamos trabalhando de forma aproximada. Vamos supor que a função f, definida nos reais, seja:


imagem - anexo 4
fonte. A autora.



​E que a função g, também definida nos reais, seja:

imagem - anexo 5
fonte. A autora.


​Vamos supor ainda que as funções, com seus domínios definidos de , definidas pela boca do Pac-Man serão:


imagem - anexo 6
fonte. A autora.



​Calcule a área aproximadamente, delimitada pela cor amarela, obtida através das funções dadas.

Para facilitar o cálculo de forma aproximada da região siga os seguintes passos:
1. Utilize o limite de integração para as funções f e g, variando de -2 à 2 em x.
2. Calcule a área do Pac-Man sem as interseções da boca e depois calcule a área da boca e faça uma menos a outra.
3. Considere os limites de integração para a boca variando de 0 à 2 em x para as funções h e t.

imagem - anexo 7
fonte. A autora.